7. ПРИНЦИП МАЛЫХ ИСКАЖЕНИЙ. МЕТОДИКА РАСПОЗНАВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИ ЗАВИСИМЫХ ДИНАСТИЙ ПРАВИТЕЛЕЙ
7. ПРИНЦИП МАЛЫХ ИСКАЖЕНИЙ. МЕТОДИКА РАСПОЗНАВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИ ЗАВИСИМЫХ ДИНАСТИЙ ПРАВИТЕЛЕЙ
Предположим, что нам известны длительности правлений в некотором списке царских династий. Скажем, заимствованных из хронологических таблиц. Допустим, что в некоторой летописи описана какая-то последовательность правителей (династия), с указанием длительностей их правлений. Спрашивается, является ли она новой, то есть ранее нам неизвестной, либо же это одна из известных нам династий. Но быть может описанная в непривычных для нас терминах: цари названы по-другому и т. п. Оказывается, ответ на вопрос можно попытаться получить следующей методикой. См. [нх1].
Рассмотрим n любых последовательных реальных правителей, царей в истории какого-то государства. Условно назовем эту последовательность РЕАЛЬНОЙ ДИНАСТИЕЙ. Обозначим ее через М. Под ДИНАСТИЕЙ мы будем понимать последовательность фактических правителей страны безотносительно к их титулатуре и родственным связям. Из-за наличия соправителей иногда возникают трудности в расположении царей в ряд. Примем простейший принцип упорядочивания — по серединам периодов их правлений. Последовательность длительностей правлений всех царей данной страны назовем ДИНАСТИЧЕСКИМ ПОТОКОМ. Ее подпоследовательности, получающиеся отбрасыванием некоторых соправителей, назовем ДИНАСТИЧЕСКИМИ СТРУЯМИ. От династической струи требовалось, чтобы она покрывала весь интересующий нас исторический период, без лакун. В реальных ситуациях по понятным причинам эти требования могут быть слегка нарушены. Из рассказа летописца может выпасть год междуцарствия и т. п.
Каждый летописец, описывающий династию, по-своему вычисляет длительности А_i правления каждого царя с номером i. В результате он получает последовательность чисел a=(A_1…A_n), которую мы условно назовем ЧИСЛОВОЙ ДИНАСТИЕЙ. Ее удобно изобразить вектором a в евклидовом пространстве R^n. Другой летописец, описывая ТУ ЖЕ реальную династию, может слегка по-другому оценить длительности правлений царей. В результате он получит, вообще говоря, другую числовую династию b=(B_1….,B_n). При этом существенную роль играют ошибки и трудности, препятствующие точному определению длительностей правлений.
Но основе анализа большого числа реальных летописей и хронологических таблиц, нам удалось выделить следующие основные типы ошибок летописцев [нх1].
1) Неточность в определении начала правления царя. Иногда летописцам было трудно понять — от какого года нужно отсчитывать годы правления царя. Например, считать ли их от момента фактического прихода к власти, или от формального коронования. Например, для начала правления Фридриха II в разных таблицах приводятся различные варианты: 1196, 1212, 1215, 1220 годы. Это приводит нас к необходимости «раздвоения» царя или даже к рассмотрению его в большем числе вариантов. Все эти варианты были включены в общий династический поток. При этом требовалось, чтобы ни одна струя не содержала двух различных вариантов одного и того же правителя. После чего анализировались все возникающие из-за этого династические струи. Отметим, что с концом правления царя обычно трудностей нет — чаще всего это год смерти царя.
2) Неточность в вычислении самой длительности правления царя. Если он правил только несколько лет, то летописец ошибался довольно редко. Но если царь правил долго, то летописец иногда начинал сбиваться со счета. И чем больше правил царь, тем больше могла быть ошибка в вычислениях летописца.
3) Иногда летописцы переставляли, путали двух соседних царей. Например, если соседние цари имели близкие, или даже совпадающие имена.
4) В некоторых, довольно редких, случаях летописцы заменяли двух или нескольких последовательных царей — ОДНИМ ЦАРЕМ, приписывая ему суммарную длительность правления всех этих «составляющих его царей». Причина могла быть аналогичной: близость имен соседних царей, путаница в древних документах.
Таким образом, каждая реальная династия, будучи описана несколькими летописцами, вообще говоря, «размножалась» в несколько числовых династий. Дело в том, что каждый из летописцев мог ошибаться по-своему, в результате получая последовательность чисел — длительностей правлений. Не ту, что у другого летописца. Чем больше было летописцев, тем больше числовых династий «получалось» из одной реальной династии.
Этот процесс «размножения династии» под перьями летописцев можно смоделировать математически. Для этого нужно взять конкретную династию и, применяя к ней описанные выше четыре типа возмущений, получить из нее много новых числовых династий. Изобразим все получившиеся числовые династии точками в евклидовом пространстве R^n. В результате каждая реальная династия M может быть изображена некоторым множеством V(M) точек (векторов) в R^n. Степень «размытости» этого множества показывает — насколько значительны ошибки, допущенные летописцами при описании династии. Большие ошибки приводят к тому, что точки множества V(M) разбросаны далеко друг от друга. Если ошибки невелики, то V(M) имеет малый диаметр. Насколько ошибались летописцы при описании династий? Попробуем это выяснить.
Будем считать две реальные династии СУЩЕСТВЕННО РАЗЛИЧНЫМИ, если число царей, входящих одновременно к обе династии, не превышает числа n/2, то есть половины числа царей в династии. Две наугад взятые реальные династии могут иметь общих царей, то есть могут пересекаться.
Назовем две числовые династии ЗАВИСИМЫМИ, если они отвечают одной и той же реальной династии. То есть просто являются двумя разными вариантами описания одной и той же реальной династии, но сделанных разными летописцами. Напротив, назовем две числовые династии НЕЗАВИСИМЫМИ, если они отражают две реальные, но СУЩЕСТВЕННО РАЗЛИЧНЫЕ династии.
Наряду с зависимыми и независимыми числовыми династиями имеются еще и «промежуточные» пары династий, в которых число общих правителей превышает n/2. Ясно, что если общее число рассматриваемых династий велико, то количество промежуточных пар династий относительно мало. И основное внимание можно уделять зависимым и независиым парам династий.
ПРИНЦИП МАЛЫХ ИСКАЖЕНИЙ звучит так. См. [нх1]. Если две числовые династии «достаточно мало» отличаются друг от друга, то они ЗАВИСИМЫ, то есть изображают одну и ту же реальную династию царей. Напротив, если две реальные династии СУЩЕСТВЕННО РАЗЛИЧНЫ, то отвечающие им числовые династии «достаточно сильно отличаются», далеки друг от друга.
Этот принцип — статистическая модель, гипотеза — утверждает, что «в среднем» летописцы ошибаются все-таки незначительно, «не очень сильно». Удобно представлять себе принцип малых искажений в терминах множеств точек V(M) и V(H). Для каждой реальной династии М множество изображающих ее числовых династий является «шаровым скоплением». См. рис. В.11. Если сформулированная выше статистическая гипотеза верна, то «шаровые скопления» V(M) и V(H), отвечающие заведомо НЕЗАВИСИМЫМ, то есть заведомо разным реальным династиям M и H, не пересекаются, расположены достаточно далеко друг от друга. См. рис. В.11. Принцип малых искажений нуждается в эскпериментальной проверке. Сначала нужно было выяснить: можно ли найти естественный числовой коэффициент c(M,H), который позволяет уверенно различать заведомо зависимые и заведомо независимые пары числовых династий. Другими словами, число c(M,H) должно быть «мало» в случае заведомо зависимых числовых династий M и H, и должно быть «большим» для заведомо независимых династий M и H. В частности, потребовалось составить список заведомо зависимых и заведомо независимых династий из более или менее достоверной эпохи XIV–XX веков. См. подробности в [нх1]. Далее, на множестве всех пар династий была введена естественная мера близости c(M,H), описание которой также дано в [нх1]. В результате обширного вычислительного эксперимента оказалось, что эта мера удовлетворяет требуемым условиям: числовой коэффициент c(M,H) уверенно различает заведомо зависимые и заведомо независимые династии. Для ЗАВЕДОМО ЗАВИСИМЫХ числовых династий, содержащих от 15 до 20 правлений, из эпохи XIV–XX веков коэффициент c(M,H) оказался не превосходящим величины 10^{-8}. Здесь он колебался в интервале от 10^{-12} до 10^{-8}. А для ЗАВЕДОМО НЕЗАВИСИМЫХ числовых династий из той же эпохи, коэффициент оказался не меньше чем 10^{-3} и колебался в интервале от 10^{-3} до 1. Все детали методики описаны в [нх1].
После проверки эффективности методики на заведомо достоверном материале, она была применена и к «древним» династиям. И тут стали обнаруживаться очень интересные факты.