Как решается неразрешимая задача?

Как решается неразрешимая задача?

Долгую жизнь прожил замечательный иранский поэт Омар Хайям — около 83 лет. Много времени отдал он своим любимым наукам — астрономии и математике. Однако всемирную славу завоевал он не научными трудами, а знаменитыми четверостишиями, которые умещаются в небольшой книжке.

Талантливый поэт воспевал красоту и радости жизни, язвительно осмеивал мусульманских богослужителей — мулл.

Недаром они называли его стихи «лютыми змеями» для законов, предписанных кораном — священной книгой верующих мусульман.

Молодого поэта-ученого глубоко уважал его старший друг Низам ал-Мулк — первый министр султана Джелал ад-Дина Малик-шаха. По соизволению шаха в 1074 году была построена отличная астрономическая обсерватория: она прежде всего должна была помочь в решении важной задачи. Именно для этого ал-Мулк и пригласил к султанскому двору Омара Хайяма.

В Иране с древних времен был солнечный календарь, такой же, как в Египте: он состоял из 12 месяцев по 30 дней и пяти добавочных дней, но високосного года, как и в Египте, не было. Поэтому календарь каждые четыре года убегал на один день вперед, а за 120 лет — на целый месяц. Однако через 119 лет в календарь добавляли еще один, 13-й месяц, и все дни вновь возвращались на свои места. А главное, при этом Ноуруз — первый весенний праздник и новогодие — опять совпадал с весенним равноденствием, 21 марта.

Буйно и стремительно наступает весна в Иране: еще не успеет растаять в предгорьях снег, а на деревьях уже набухают почки и бутонами покрываются розовые кусты. Можно ли сделать так, чтобы Ноуруз всегда совпадал с началом весны — равноденствием? Вот какую задачу должны были решить Омар Хайям и другие астрономы. И Хайям предложил очень простое и удачное решение.

Прежде всего надо было добавлять к каждому четвертому году, как в юлианском календаре, високосный день. Но этого еще недостаточно. Ведь весеннее равноденствие за 128 юлианских лет все же отступает на один день. Значит, и Ноуруз будет кочевать с 21 марта на 20-е, потом на 19-е число, все больше удаляясь от начала весны.

Вы уже догадываетесь, что в Иране решали такой же вопрос, как в 1582 году календарная комиссия папы Григория XIII. В Риме нужно было прикрепить «навечно» весеннее равноденствие к 21 марта, а в Иране — связать с этим равноденствием всенародный праздник новогодия. И Хайям придумал лучшее решение, чем в Риме, через 500 лет.

В сущности, поэт-ученый стремился создать совершенно точный календарь, решить ту задачу, с которой началась эта книга. Теперь наконец пришла пора и нам заняться этой неразрешимой задачей.

Солнечный год, один оборот Земли вокруг Солнца, продолжается 365 дней 5 часов 48 минут 46 секунд.

В египетском календаре было ровно 365 суток. Очень короткий календаре, надо было удлинить его.

Об этом позаботился Юлий Цезарь с помощью Созигена. Они сделали високосным каждый четвертый год, добавив к нему еще один, 366-й день. Если разверстать этот дополнительный день поровну между четырьмя годами, то получим, что каждый из них увеличился на ¹/₄ суток и продолжается в среднем 365 дней 6 часов.

Юлианский календарь оказался длиннее солнечного года на 11 минут 14 секунд. Теперь уже надо было укоротить календарь, чтобы за 128 лет не вырастал лишний день.

Для этого Хайям придумал остроумную комбинацию високосов. Он предложил в течение 28 лет считать, как и в юлианском календаре, семь високосов, но следующий — восьмой — назначил уже не через четыре, а через пять лет. Посмотрим, что при этом получается.

За 33 года в календаре Хайяма добавляется к 365 суткам еще 8 дней. Выходит, что в среднем каждый год увеличивается на ⁸/₃₃ суток и продолжается 365 дней 5 часов 49 минут 5,5 секунды.

Как видите, Хайям добился своей цели: год по его календарю всего лишь на 19,5 секунды длиннее солнечного года. Благодаря этому лишние сутки накопляются не за 128 лет, как по юлианскому календарю, а примерно только за 4430 лет [41].

Вот какую высокую точность дает небольшая передвижка восьмого високоса. Если бы календарь Хайяма сохранился до наших дней, Ноуруз отступил бы на один день от весеннего равноденствия лишь в 56 веке!

Такой же точностью обладал и французский республиканский календарь. Только начало года в нем было прикреплено не к весеннему, а к осеннему равноденствию. Но оба календаря хоть и немного, а все-таки длиннее солнечного года. Если бы удалось чуть-чуть укоротить их — всего на 19 секунд за целый год, — о календарь был бы совсем точным. Можно ли это сделать?

Больше 100 лет назад, в 1864 году, директор астрономической обсерватории в эстонском городе Дерпте (ныне Тарту) И. Мэдлер разработал оригинальный проект. Он рассуждал так. Если ваши часы поставлены неверно, например опаздывают на пять минут, но идут точно, можно довольствоваться поправкой. Если же часы идут неточно, то лучше отдать их в ремонт. Еще хуже обстоит дело с юлианским календарем: он и запаздывает, и построен неточно.

Мэдлер предложил очень просто «отремонтировать» этот календарь: в нем лишние сутки накопляются за 128 лет, надо исключить их, считать за это время не 32 високоса (128:4), как полагается по старому и новому стилям, а только 31. Тогда, мол, получится вполне точный календарь чуть ли не навечно. Но Мэдлер немножко преувеличил достоинства своего проекта.

Каждый год по Мэдлеровскому календарю в среднем короче, чем по юлианскому, на ¹/₁₂₈ часть суток, то есть на 11 минут 15 секунд, и продолжается 365 дней 5 часов 48 минут 45 секунд.

^{Какой календарь лучше?}

Он действительно очень близок к солнечному году, всего лишь на одну секунду короче его. Совсем ничтожная величина, но все-таки совершенно точного, «вечного» календаря не получается. Эта задача неразрешима.

Да и нужна ли такая абсолютная точность? Ведь календарь — не часы. Если они отстают или убегают вперед хотя бы на минуту в сутки и вы не будете переставлять минутную стрелку, то через год ваши часы станут показывать 6 часов в полдень или в полночь. А если календарный год отступает от солнечного на одну минуту, это в житейской практике и не заметно и не имеет ровно никакого значения: разница в сутки набежит только через полторы тысячи (точнее — 1440) лет…

ЗАМЕТКА ДЛЯ ЛЮБОЗНАТЕЛЬНЫХ

Лунно-солнечный календарь Метона, созданный почти за 400 лет до юлианского, был точнее его: ошибка в сутки вырастала не за 128, а лишь за 213 лет. Надо полагать, что об этом знали Созиген и Юлий Цезарь, но предпочли менее точный, зато более удобный солнечный календарь. В самом деле, не очень приятно было бы для нас считать в одном году 354 дня, а в другом 384, как эго получается во всех лунно-солнечных календарях.

Еще точнее мусульманский лунный календарь: он ошибается на сутки только за 2308 лет. Но согласитесь вы жить по такому коротенькому календарю, в котором месяцы перепрыгивают из одного сезона в другой?

Индейцы майя много веков назад придумали более точный календарь, чем григорианский. «Календарь майя был лучшим на свете! — восторженно восклицает археолог К. Керам. — Он… был самым точным». В этом Керам ошибся: точнее были календари Миланковича (стр. 212) и Мэдлера (см. таблицу на стр. 273).

Наш нынешний календарь менее точен, чем предложенные Хайямом и Мэдлером. Год по григорианскому календарю в среднем продолжается 365 дней 5 часов 49 минут 11 секунд, меньше чем на полминуты отстает от солнечного года. Весеннее равноденствие отступит от 21 на 20 марта лишь в 4882 году. Хватит не только на наш век, но и на много грядущих столетий.

Авторы и название календаря

Продолжительность года (в сутках)

Величина ошибки (в частях суток)

За сколько лет накапливается ошибка в одни сутки

Астрономический год 365,24219

Минус означает меньше, плюс — больше средней продолжительности года

Древнеегипетский

365,00000

— 0,24219, или 5 час. 48 мин. 46 сек.

Около 4,3 года

Созиген — юлианский

365,25000

+0,00781, или 11 мин. 14 сек.

128 лет

Лилио — григорианский

365,24250

+ 0,00031, или 26 сек.

3300»

Хайям — Джелали

365,24242

+ 0,00023, или 19,5 сек.

4430»

Индейцев майя

365,24200

— 0,00019, или 16,4 сек.

5270»

Миланкович — новоюлианский

365,24222

+ 0,00003, или

2,6 сек.

43 000»

Мэдлер

365,24218

— 0,00001, или

1 сек.

80 000»

Для практических надобностей большей точности и не требуется, а комбинация високосов легче запоминается, чем по проектам Хайяма или Мэдлера. Но достаточно ли прост и удобен григорианский календарь? Оказывается, много у него недостатков и стоит он слишком дорого.