Математика европейского Средневековья

Математика европейского Средневековья

В Западной Европе математика не имеет столь древнего происхождения, как в странах Ближнего и Дальнего Востока. Заметные успехи появились тут лишь в эпоху позднего Средневековья и особенно Возрождения. А основной организационной предпосылкой развития математики в Европе стало открытие учебных заведений. Одно из первых организовал во французском городе Реймсе Герберт (940-1003), позже ставший римским папой с именем Сильвестр II.

Французский монах Герберт из Орильяка – первый профессиональный ученый католической Европы. В 970-е годы он поселился в Барселоне, выучил арабский язык и начал беседовать с учеными иноверцами обо всем на свете. Астрономия и арифметика, изготовление бумаги и музыкальных инструментов – во всем этом жители Андалузии превосходили лучших мастеров Франции или Италии, и все это Герберт старался перенять. Через пять лет он сделал очередной шаг: направился в центр Андалузии – Кордову и три года учился у местных мудрецов. Ему не раз предлагали принять ислам. Но у него была другая цель: соединить арабскую мудрость, ученость древних греков и римлян с христианским богословием; сделать этот сплав достоянием всех католиков.

Вернувшись во Францию, Герберт устроил в городе Реймсе училище по своему вкусу. В нем юноши обучались латыни и греческому, а желающие – также арабскому и древнееврейскому языкам. Кроме этого, преподавались астрономия и музыка, арифметика на основе арабских цифр. Все необходимые приборы строил сам Герберт с помощью учеников. Герберт привез с собой много книг из-за Пиренеев; это были Платон и Аристотель, Евклид и Птолемей, множество арабских рукописей.

В реймсской школе Герберта, кроме прочих наук, учили счету с применением счетной доски – абака, которую усовершенствовали путем замены пустых жетонов, каждый из которых имел значение единицы, на жетоны с написанными на них цифрами.

В то время существовало много способов счета. Были даже две враждующие партии: абакистов и алгоритмиков. Первые отличались требованием обязательного использования абака и двенадцатиричной римской нумерации. Алгоритмики пользовались индусскими цифрами, некоторые вводили знак нуля, счет вели на бумаге, применяли шестидесятиричные дроби. В спорах формировались системы счисления и приемы арифметического счета, все более близкие к привычным нам системам и приемам.

Многие европейские правители стремились отдать своих сыновей в учение к Герберту. В 996 году один из его питомцев (Роберт II) получил корону Франции; Герберт был назначен епископом Реймса, и этот город на века стал церковным центром Франции. В 999 году другой его ученик (Оттон III) стал императором Священной Римской империи. Тут уж Герберту пришлось стать римским папой.

В Риме нового папу многие восприняли как чернокнижника. Ведь он удивительно быстро считает с помощью арабской доски – абака и не пользуется римскими цифрами! Да еще умеет предсказать исход бросания костей в игре! Он сам следит за движением звезд, строит благозвучные оргбны, а богословских споров избегает. Небывалый человек на престоле святого Петра!..

Не хватало широких контактов между католическим и исламским миром. Они начались только в эпоху Крестовых походов – в самом конце XI века, когда кастильские рыцари захватили половину Пиренейского полуострова и его древнюю столицу Толедо. Вскоре туда потянулись многие последователи Герберта из Орильяка: Аделяр из Бата в Англии, Герардо из Кремоны в Италии. Все они стремились перевести на общедоступную латынь с арабского или греческого языков труды древних ученых Эллады и Рима. Аделяр перевел «Начала» Евклида и ряд книг Хорезми. Герардо открыл для католиков Аристотеля и Птолемея.

Длинное название книги Птолемея («Мегале Математике Синтаксис») арабы сократили до первого слова: получилось «Величие» – Аль-Магест. Новым европейцам понравилось второе слово в этом названии – «Учение» (Математика). И вот с XII века все европейцы называют так науку о числах и фигурах.

В XII–XIII веках появились в Европе университеты. Самыми первыми были итальянские в Болонье и Салерно. Вслед за ними открылись университеты в Оксфорде и Париже (1167), Кембридже (1209), Неаполе (1224), Праге (1347), Вене (1367).

Эти учебные заведения были безраздельно подчинены церкви. Уровень математических познаний выпускников был низок; во многих европейских университетах вплоть до XVI века от лиц, претендовавших на звание магистра, по математике требовалась только клятва, что он знает шесть книг евклидовых «Начал».

В 1202 году Европа получила первый собственный учебник арифметики для широкого читателя, называвшийся «Книга Абака». Его составил Леонардо Фибоначчи из Пизы (1180–1240). Арифметике он учился в Алжире у местных мусульман. Позднее Фибоначчи написал учебник «Практическая геометрия» и «Книгу квадратов». В них впервые были изложены на латыни правила действий с нулем и отрицательными числами, а также появились знаменитые числа Фибоначчи.

В «Книге Абака» 15 отделов. В первых семи изложены исчисление целых чисел по позиционной десятичной системе и операции с обыкновенными дробями. Отделы 8-11 содержат приложения к коммерческим расчетам: простое и сложное тройное правило, пропорциональное деление, задачи на определение монетных проб (помните об алхимии). Разнообразный набор задач, решаемых с помощью простого и двойного ложных положений, суммированием арифметических прогрессий и квадратов натуральных чисел, нахождением целочисленных решений неопределенных уравнений первой степени, составляет отделы 12 и 13. Предпоследний, 14-й отдел посвящен вычислению квадратных и кубических корней и операциям с «биномиями». Завершается «Книга Абака» 15-м отделом, содержащим краткое изложение алгебры и альмукабалы, близкой к алгебре Хорезми, а также задачи на непрерывные числовые пропорции и геометрические задачи, сводящиеся к приложению теоремы Пифагора.

Время, протекшее после работ Леонардо Фибоначчи вплоть до эпохи Возрождения, в историю математики не внесло ярких идей и больших открытий. Однако в эти столетия в математике происходил интересный и малоизученный процесс накапливания предпосылок. Но что более важно, шла подготовка собственных кадров. Математические знания распространялись среди все более широких кругов ученых, а наличие большого числа поставленных и осознанных, но еще не решенных теоретических и практических задач влекло к новому научному подъему.

В этих условиях наметились два главных направления развития математики: серьезное усовершенствование алгебраической символики и оформление тригонометрии как особой науки.

Еще современник Фибоначчи генерал доминиканского монашеского ордена Иордан Неморарий (род. 1237) изображал с помощью букв произвольные числа. Впрочем, буквенного исчисления из этого не получилось, так как результат любой операции над двумя буквами обязательно обозначался третьей буквой (a+b=c, ab=d и т. д.).

Профессор Парижского университета Николай Орезм (1328–1382) обобщил понятие степени, введя дробные показатели степени, правила производства операций над ними и специальную символику, предваряя фактически идею логарифма.

В конце XV века бакалавр Парижского университета Н. Шюке, помимо дробного показателя степени, ввел также отрицательные и нулевые показатели, отрицательные числа, а также внес усовершенствования в алгебраическую символику. В этой символике нет еще специального символа для неизвестного, а большинство символов образовано путем сокращения слов. Например, m – сокращение слова minus. Знаком корня служит R x от слова radix, корень, знаком сложения – р.

В Англии развивал теорию ученый богослов Роберт Гросетест («Головастый»), епископ Линкольна (1175–1253), увлекавшийся к тому же оптикой. Он начал суммировать бесконечные ряды чисел и вскоре научился отличать сходящийся ряд от расходящегося. Но и расходиться ряд может с разной скоростью. Гросетест заметил, что сумма натуральных чисел растет гораздо медленнее, чем сумма их квадратов, а сумма квадратов – медленнее, чем сумма последовательных степеней двойки. Так первый из христиан проник в область бесконечно больших и бесконечно малых величин, вторым после Архимеда, на четыре столетия опережая Ньютона.

Гросетест считал, что античных классиков (особенно Аристотеля) нужно изучать в подлиннике, а не по дурным переводам на латынь, сделанным к тому же с арабских переводов. Поэтому Гросетест пригласил в Англию ученых греков – беглецов из Константинополя, разоренного крестоносцами в 1204 году. Так в Оксфорде и Кембридже появились первые греческие профессора.

Среди учеников Гросетеста оказались выдающийся алхимик Роджер Бэкон (один из изобретателей пороха) и граф Симон де Монфор – организатор первого выборного парламента в Англии. Коллегой и соперником Роберта Гросетеста был Фома Аквинский (1225–1274), решивший следовать Аристотелю и Евклиду, чтобы изложить всю христианскую ученость в виде цепи определений, аксиом и теорем.

Жан Буридан (1300–1358) был профессором Парижского университета (Сорбонны). Многим известны рассказы о буридановом осле. Этот осел из теории ученого стоял между двух одинаковых кормушек с сеном и не мог решить, откуда поесть. И сдох. Эти мысленные эксперименты дают представление о попытках развития принципов доказательства.

Еще один профессор Сорбонны, Раймонд Луллий (1235–1315), прочел книги Аристотеля и Евклида глазами инженера; в результате появилась идея машины, автоматически выполняющей все арифметические действия с числами и логические операции над любыми утверждениями. Это был первый проект механического счетного устройства. Построить его Луллию не удалось: слишком низок был тогда уровень механического ремесла во всем мире.

Большой вклад в формально-символическое усовершенствование алгебры внесли в XV и XVI веках математики Южной Германии. Они разработали несколько систем символов, более удобных для записи математических действий, а некоторые из них высказали в своих сочинениях идеи, близкие к понятию логарифма.

Так же были очевидны успехи тригонометрии, явившиеся следствием развития астрономии. Факты тригонометрии были восприняты, как и другие факты математики, в большинстве при переводе научных трактатов с арабского языка. При этом в поле зрения европейских математиков оказывались достижения астрономов и математиков как Византии, так и более поздней арабской науки.

В XV веке, когда дальние плавания стали возможны, когда изученный мир стал расширяться и представления о нем быстро изменялись, резко возрос интерес к астрономии. Это была пора, непосредственно предшествующая открытию Америки (1492), первому плаванию вокруг Африки (1498), первому кругосветному плаванию (1519), открытию и доказательству гелиоцентрической теории Коперника (1473–1543). В 1461 году в Европе появилось сочинение «Пять книг о треугольниках всякого рода», в котором впервые тригонометрия была отделена от астрономии и трактована как самостоятельная часть математики. Написал его немецкий математик Иоганн Мюллер (1436–1476), более известный как Региомонтан.

В этой книге систематически рассмотрены все задачи на определение треугольников, плоских и сферических, по заданным элементам. При этом Региомонтан расширил понятие числа, включив в него иррациональность, возникающую в случае геометрических несоизмеримостей, и прилагая алгебру к решению геометрических задач. Тем самым было открыто новое понимание предмета тригонометрии и ее задач.

Региомонтан продолжил начатую ранее другими учеными работу по составлению таблиц тригонометрических функций. Его таблица синусов имела частоту через каждую минуту и точность до седьмого знака. Для этого величину радиуса образующей окружности он брал равной 107, так как десятичные дроби еще не были известны. Он ввел в европейскую практику тригонометрические функции, получившие в XVII веке названия тангенса и котангенса, составив таблицу их значений.

В 1482 году в Венеции была впервые напечатана (по латыни) книга Евклида «Начала». С этого момента для математиков кончилось Средневековье и началось Новое время.

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

Похожие главы из других книг

Наглядная математика

Из книги Занимательная Греция автора Гаспаров Михаил Леонович

Наглядная математика «3 в квадрате будет 9», «3 в кубе будет 27». А вы задумывались, почему мы называем число, умноженное само на себя, квадратом, а умноженное само на себя и еще раз на себя — кубом? Потому что так представляли их греки. У них было, если можно так выразиться,


Шутка математика

Из книги Великие тайны цивилизаций. 100 историй о загадках цивилизаций автора Мансурова Татьяна

Шутка математика Американский математик и криптограф Лоурен Смитлайн сумел расшифровать письмо, отправленное двести лет назад профессором математики Робертом Паттерсоном своему другу, президенту США Томасу Джефферсону. Смитлайн совершил то, что не смогли сделать до


МАШИНЫ И МАТЕМАТИКА

Из книги Варвары против Рима автора Джонс Терри

МАШИНЫ И МАТЕМАТИКА Но это было только верхушкой айсберга. В текстах Филона под названием «Механическая коллекция» описаны все виды устройств, над которыми он работал в соавторстве или изобрел сам: самоходные колеса, система кодированной связи, цепной насос, воздушный


Нам поможет математика

Из книги Русь, которая была автора Максимов Альберт Васильевич

Нам поможет математика А сейчас давайте подробнее ознакомимся с маршрутом и, главное, сроками путешествия Карпини, благо он периодически привязывает пункты своего путешествия к датам католических праздников.4 февраля. Выезд из Киева.19 февраля. Выезд из Канева (120


Византийская математика

Из книги Другая история науки. От Аристотеля до Ньютона автора Калюжный Дмитрий Витальевич

Византийская математика Основным достижением математической мысли, характеризующим начало византийской математики, было возникновение и развитие понятия о доказательстве. Первым из философов, применившим в математике метод доказательства, считается греческий ученый


Математика арабоязычного мира

Из книги Другая история науки. От Аристотеля до Ньютона автора Калюжный Дмитрий Витальевич

Математика арабоязычного мира На обширных территориях, от северо-запада Индийского полуострова до северного побережья Африки и юга Испании, существовали многочисленные восточные государства. Созданные нередко путем завоеваний, огромные, но не связанные в единый


Исчисление и математика

Из книги Величие Вавилона. История древней цивилизации Междуречья автора Саггс Генри

Исчисление и математика Одной из неожиданностей, с которой столкнулись ученые-ассириологи, когда стали доступными самые разные клинописные тексты, была продвинутая стадия, которой достигла вавилонская математика в самый ранний период.Зарождение письма было связано не


B и C. Математика и метафизика

Из книги Философы Древней Греции автора Брамбо Роберт

B и C. Математика и метафизика Аристотель связал свою трехчастную схему с проблемой причинности и использовал ее как план для изложения истории существовавшей до него научной мысли. Представители материалистической традиции, в том числе атомисты, имели склонность


Математика и практика

Из книги Древний Восток автора Немировский Александр Аркадьевич

Математика и практика Математика носила сугубо прикладной характер. Поэтому составлялось огромное количество вычислительных таблиц (наподобие нашей таблицы умножения) на все случаи жизни, заучивавшихся наизусть. Большое внимание уделялось геометрическим задачам,


Математика

Из книги Народ майя автора Рус Альберто

Математика Насущные потребности повседневной жизни заставляли людей даже на самых ранних стадиях развития человеческого общества обращаться к счету, то есть к азам математики. За несколько тысяч лет до нашей эры в Индии, Китае, Месопотамии и Египте применялись


5.1. Общая характеристика европейского средневековья

Из книги История и культурология [Изд. второе, перераб. и доп.] автора Шишова Наталья Васильевна

5.1. Общая характеристика европейского средневековья Хотя слова «средние века» вызывают в нашей памяти знакомые образы — готические соборы и феодальные замки, рыцари и крестовые походы, могущество римских пап и инквизиция, — дать строгое определение этому понятию не