О масштабах

Читать карту, не зная масштаба, это все равно что читать рассказ, не зная где и когда происходят события. И тем, кто еще не научился им пользоваться, необходимо знать, что чем мельче масштаб, тем более обширное пространство может быть показано на листе карты, но местность на ней изображается с меньшими подробностями, и наоборот, чем крупнее масштаб карты, тем с большей детальностью могут быть показаны на ней элементы ее содержания.

Часто для иллюстрации обзорных статей в газетах и журналах приводятся две или даже три карты разных масштабов. Это дает возможность читателю рассмотреть во всех подробностях небольшую страну или ее часть и в то же время узнать ее местоположение на карте мира. В качестве примера на рис. 17 приводятся три вырезки из карт разных масштабов, на которых расположен город Аден.

Рис. 17. Картографическое изображение в разных масштабах.

Справа дана карта самого крупного масштаба: в 1 см 2 км. На ней показано подробное изображение города, ведущие к нему дороги и даже рельеф местности. Слева внизу показана обзорная карта очень мелкого масштаба: в 1 см 1000 км. Здесь мы можем познакомиться с местоположением Адена относительно частей света, морей и океанов. Слева вверху дана карта, на которой подробно отображено прилегающее побережье на десятки километров, но ее масштаб все же не позволил изобразить местность с такой подробностью, как на правой карте. Здесь мы обозначили масштабный отрезок размером 1 см, но не подписали, чему он соответствует. Попытайтесь сами определить это значение, т. е. узнать масштаб карты.

Для решения задачи измерьте на верхней левой карте ширину и длину Аденского полуострова в миллиметрах и сравните их с соответствующими расстояниями на правой карте. Если вы правильно сделали, то расстояния получатся в пять раз меньше. Значит, и масштаб ее будет в 5 раз мельче правой карты, т. е. в 1 см 10 км.

Масштабы карт обычно выражают отношением единицы к числу, показывающему, во сколько раз все размеры на карте меньше соответствующих размеров в натуре. Вот, например, два масштаба: 1:500 000 и 1:10000000. Сообразите, какой из них крупнее и во сколько раз.

Более крупным считается тот масштаб, в котором одни и те же географические объекты изображаются крупнее. В самом деле, масштаб представляет собой дробь, в числителе которой единица. А из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель. Значит масштаб 1:500 000 крупнее масштаба 1: 10 000 000 в 20 раз.

А если вам встретится такое выражение: «Масштаб карты более 1 км в 1 см», что же это будет за карта? Крупнее или мельче, чем карта масштаба 1:100 000, у которой 1 см точно соответствует 1 км? Оказывается мельче, потому что, чем больше знаменатель, тем мельче масштаб карты.

По численному масштабу очень легко узнать именованный масштаб (число километров, соответствующее 1 см карты). Километр, как известно, содержит 100 000 см. Значит, знаменатель масштаба надо разделить на 100 000, т. е. у знаменателя нужно зачеркнуть последние пять нулей.

В топографии мы привыкли считать масштаб для всего листа карты величиной постоянной. На мелкомасштабной карте, изображающей значительную территорию, масштаб непостоянен. Он бывает различен не только в разных частях карты, но и в различных направлениях в зависимости от проекции.

Необходимость иметь дело с переменным масштабом усложняет пользование картой. Для удобства работы картографы задают так называемый главный масштаб, который соответствует масштабу в каких-либо определенных местах проекции. Такими местами могут быть точки или линии касания поверхностей, на которые проектируется градусная сетка с глобуса на карту. Значит, чтобы определить главный масштаб карты, нужно прежде всего знать, в какой проекции она составлена.

Обратимся к рис. 13. Все три карты, представленные на нем, составлены в цилиндрических проекциях, а для них характерно касание цилиндра по линии экватора. Следовательно, на экваторе и будут главные масштабы для наших карт. Нетрудно догадаться, что в данном случае все карты имеют один и тот же главный масштаб, так как промежутки между двадцатиградусными меридианами везде равны и составляют 3 мм. Можно определить и величину главного масштаба. Известно, что дуга экватора в 10° на земном шаре равна 1113 км. Этому расстоянию соответствует на карте отрезок, равный 0,3 см. Значит, в одном сантиметре карты содержится примерно 3700 км (1113:0,3), и численный масштаб составляет 1:370 000 000.

Кроме главного масштаба каждая карта имеет частные масштабы. Их можно выражать в обычном виде или в долях от главного масштаба, например 0,9, 1,1 и т. п.

На карте в квадратной проекции (см. рис. 13, б) частный масштаб по всем меридианам на всем их протяжении одинаковый и равен главному. На карте в равноугольной проекции (см. рис. 13, а) он постепенно увеличивается от экватора к полюсу, а на карте в равновеликой проекции (см. рис. 13, в), наоборот, уменьшается. Частный масштаб по параллелям на всех трех картах по мере приближения к полюсу резко возрастает, а на самом полюсе им бессмысленно пользоваться, ибо точка, обозначающая полюс, «растянулась» на всю ширину земной поверхности.

Определим частные масштабы для наших карт по 60-й параллели. Чтобы решить такую задачу, нужно знать длины дуг параллелей на разных широтах. Значения их в 5 и 10° (в скобках) приведены в табл. 1.

Таблица 1

Длины дуг параллелей на разных широтах

Частный масштаб по 60-й параллели на всех трех картах будет один и тот же, ибо отрезки параллелей, заключенные между меридианами, равны и соответствуют так же, как и по экватору, 0,3 см. Возьмем из таблицы значение длины дуги параллели в 10° на широте 60° и, разделив ее на 0,3, получим именованный масштаб или, как еще говорят, величину масштаба, равную 1860 км в 1 см (558:0,3). Частный масштаб, выраженный в долях к главному, будет составлять примерно 2,0 (3700:1860).

Таким путем частный масштаб можно определить лишь в том случае, когда он остается постоянным по данному направлению. Если же масштаб изменяется, то у нас получится средняя его величина. Например, на карте в равноугольной проекции (см. рис. 13, а) на каждом бесконечно малом отрезке меридиана будет свой частный масштаб. Понятно, что практически пользоваться им нельзя. Но можно сопоставить отрезки по меридиану между какими-то параллелями. Например, отрезок между 60 и 70-й параллелями в два раза больше, чем у экватора. Значит, на этом отрезке средний масштаб крупнее главного в два раза.

В картографической практике не принят термин «средний масштаб», и на всех картах подписывают только главный масштаб. Для тех, кто пользуется картой, главный масштаб не всегда понятен, так как часто не выражает общей масштабности изображения. Обратимся к рис. 18, на котором показано полушарие в трех различных проекциях: равноугольной (стереографической), равновеликой и произвольной (ортографической).

Рис. 18. Картографическая сетка полушария в трех проекциях: а — равноугольной; б — равновеликой; в — произвольной.

Все три проекции азимутальные экваториальные, так как картографическая сетка во всех случаях перенесена на плоскость, касательную в точке экватора. Эта точка А называется точкой нулевых искажений, и для нее указывают и подписывают на карте главный масштаб. Несмотря на различные размеры полушарий, главный масштаб всех трех проекций получился одинаковым. В этом нетрудно убедиться. Возьмем клетку картографической сетки, расположенную в районе точки А. В первом приближении она имеет форму трапеции, и размеры ее во всех проекциях примерно одинаковы. Измерим основания трапеций, т. е. отрезки экватора, ограниченные ближайшими к точке А меридианами. Они получаются равными 0,6 см. Расстояние по экватору, соответствующее этому отрезку, т. е. дуге в 20°, составляет 2220 км. Значит, масштаб в центральной части каждой проекции, соответствующий примерно главному масштабу, будет равен 1:370000 000 (в 1 см 370 км). Такой масштаб и был бы подписан на всех трех картах, несмотря на разные размеры полушарий. Это удобно картографам, так как главный масштаб математически обоснован и они используют его как основу для расчета и составления проекций. Для нас же более наглядным и практичным был бы средний масштаб по каким-либо линиям или направлениям. В данном случае средний масштаб по экватору для стереографической проекции равен 1:286 000 000, а для ортографической — 1:572 000 000 (в два раза мельче).

На картах обычно дается не только численный, но и линейный масштаб в виде графической шкалы. Понятно, что для карты определенного масштаба строят соответствующую шкалу. Но можно построить и один график для карт разных масштабов.

Проведем две взаимно перпендикулярные линии и отложим по вертикальной оси вверх отрезок ВС, равный 10 см, а по горизонтальной оси влево — отрезок ВА, равный 2,5 см (рис. 19).

Рис. 19. Универсальный масштаб.

Этот последний отрезок будем считать основанием линейного масштаба для карты 1:20 000 000. В этом масштабе он будет соответствовать 500 км. Чтобы найти расстояние СЕ, от которого нужно отложить основание следующего масштаба (1:25 000 000), пользуются соотношением, полученным из подобия треугольников АВС и ADE:

СВ/CE = АВ/DE; CE = CB·DE/AB = 10DE/2,5 = 4DE.

Величина DE — основание линейного масштаба — для карты 1:25 000 000 соответственно будет равна 2 см (500 км:25 000 000), значит 8 см. Так же рассчитывают расстояния от точки С до линий, где будут строиться основания линейных масштабов других карт.

Построенный график можно использовать не только для измерения расстояний по картам разных масштабов, но и для определения среднего масштаба по любому меридиану и любой параллели. Масштаб карты по меридиану определяют в следующем порядке. Раствор циркуля-измерителя, соответствующий отрезку меридиана с разностью широт 5 или 10°, будем вести по нашему масштабу вдоль наклонных линий до тех пор, пока он не уложится в расстояние 555 км для 5° или расстояние 1110 км для 10° на какой-либо горизонтальной линии. Масштаб, подписанный над этой линией, будет соответствовать среднему масштабу карты по данному меридиану. Например, отрезок MN, снятый с карты по меридиану с разностью широт 10°, уложился в расстояние 1110 км по линии масштаба 1:40 000 000. Таков и будет средний масштаб карты в данном направлении.

Чтобы определить масштаб карты по параллели, нужно вначале найти по приведенной выше таблице длину дуги параллели в 5 или 10° на определенной широте, а затем порядок действий будет тот же, что и при определении масштаба карты по меридиану.