ФЕРМА ПЬЕР (1601 г. – 1665 г.)

ФЕРМА ПЬЕР

(1601 г. – 1665 г.)

В III веке н. э. в Александрии жил и работал математик Диофант. Потомкам он оставил большой трактат «Арифметика», из тринадцати книг которого, к сожалению, сохранилось только шесть. Во второй книге «Арифметики» Диофант поставил вытекающую из теоремы Пифагора задачу. Он попытался представить данный квадрат в виде суммы двух рациональных квадратов. С этой задачей Диофант не справился, также не смог он доказать и невозможность ее решения.

Труд Диофанта долго оставался популярным среди математиков. В первой половине XVII века один из экземпляров «Арифметики» попал в Италию, был переведен на латынь и издан. В 1636 году это издание попало в руки Пьера Ферма – юриста из Тулузы. На полях второй книги «Арифметики» Ферма написал: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». В более привычном современному читателю виде это утверждение можно выразить так: уравнение Хⁿ+Yⁿ=Zⁿ при n>2 не имеет целых положительных решений. К сожалению, не только на полях «Арифметики», но и вообще ни в каких бумагах Ферма не изложил свое «поистине чудесное доказательство». Так было положено начало одной из самых захватывающих проблем математики – доказательство Великой теоремы Ферма.

На протяжении трех с половиной веков математики всех стран не оставляли попытки доказать Великую теорему. Она даже стала причиной установления своеобразного антирекорда – теоремой, для которой было предложено наибольшее число неверных доказательств. Только в 1995 году победу над неприступной теоремой одержал математик Эндрю Уайлз. Его доказательство было основано на теориях и понятиях, во времена Ферма не существовавших, и изложено более чем на ста страницах. Действительно, полей «Арифметики» Диофанта Ферма могло бы не хватить. Кем же был этот человек, на три с лишним столетия поставивший в тупик математиков всего мира?

Биографические сведения о Пьере Ферма весьма отрывочны. Долгое время даже бытовало неверное мнение о том, что ученый родился в Тулузе, где он впоследствии долго жил и работал. Соответственно, не было никаких сведений и о родителях Ферма. Но в 1846 году некий адвокат обнаружил в архивах маленького городка Бомон-де-Ломань на юге Франции следующую запись: «Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консулата города Бомона, крещен 20 августа 1601 г. Крестный отец – Пьер Ферма, купец и брат названного Доминика, крестная мать – Жанна Казнюв, и я (Дюма, викарий)». Таким образом, отец Пьера, Доминик Ферма, был богатым торговцем и к тому же занимал должность второго консула города, то есть имел достаточно высокое общественное положение. Мать знаменитого математика, Клер, происходила из семьи юриста и, скорее всего, была женщиной образованной. О детстве Пьера известно мало, но совершенно очевидно, что супруги Ферма дали сыну прекрасное образование. Он знал латинский, греческий, испанский и итальянский языки, писал стихи, был прекрасным знатоком античной литературы. Начальное образование Пьер, по-видимому, получил дома, а затем, скорее всего, обучался в школе при местном монастыре францисканцев.

Известно, что Ферма посещал лекции в Тулузском университете, а затем во второй половине 1620-х годов учился в Бордо. Именно в Бордо Пьер начал всерьез интересоваться математикой. Здесь он написал работу о восстановлении двух утерянных книг Аполлония Пергского «О плоских местах» и занимался проблемами наибольших и наименьших величин. Относящиеся к 1629 году работы, посвященные последней тематике, стали началом ряда исследований, считающихся основным вкладом Ферма в развитие математики. Между тем, основным своим занятием Пьер считал юриспруденцию. Образование он закончил в университете Орлеана, где получил степень бакалавра права.

В 1631 году Ферма купил патент советника в парламенте Тулузы (парламенты городов исполняли судебные функции). Пьер был всесторонне одаренным человеком. Он замечательно справлялся со своими профессиональными обязанностями и снискал себе славу прекрасного юриста. С тех пор и на протяжении всей жизни Ферма состоял на различных государственных должностях и сделал неплохую карьеру. Наукой же он занимался в свободное от основной работы время.

В том же 1631 году Ферма женился на Луизе де Лонг – дальней родственнице своей матери. Брак оказался вполне счастливым и многодетным, Луиза подарила своему мужу пятерых детей. Старший из них, Сэмюель, впоследствии стал достаточно известным в свое время ученым и поэтом, а кроме того, он оказал большую услугу математикам и исследователям последующих поколений. Дело в том, что свои работы Пьер Ферма практически не публиковал, исключение составляет только изданная в 1660 году диссертация «О сравнении кривых линий прямыми». Он неоднократно пытался начать работу по подготовке к изданию собрания своих сочинений, но времени, остающегося от юридической деятельности, постоянно не хватало. Уже после смерти ученого его сын смог реализовать эту идею. В 1679 году Сэмюель Ферма издал собрание математических работ отца под названием «Различные математические работы доктора Пьера де Ферма, выбранные из его писем или к нему, написанных по математическим вопросам и по физике ученейшими мужами на французском, латинском или итальянском языках».

Подробности научной работы Ферма коллеги-современники узнавали по обширной переписке, которую ученый вел с ведущими математиками Европы того времени: Мерсенном, Робервалем, отцом и сыном Паскалями, Декартом, Френиклем, Каркави, Гассенди, Сенье, Булльо, Дигби, Клерселье, Лалувером, Гюйгенсом. Дело в том, что переписка между учеными в те времена была, пожалуй, основным методом передачи научной информации. Основным адресатом Ферма был аббат Мерсенн. Об этом интереснейшем человеке следует сказать несколько слов. Никаких серьезных научных открытий Мерсенн не сделал, тем не менее, его вклад в развитие науки очень велик. На протяжении 30 лет он возглавлял кружок, в который входили все ведущие математики и физики Парижа. В дальнейшем именно кружок Мерсенна стал основой для создания Парижской академии наук. Кроме того, аббат выполнял очень трудоемкую и важную «диспетчерскую» функцию, в чем-то напоминающую работу современных научных журналов. Он размножал приходившие на его адрес письма и отправлял их всем ученым, работа которых была связана с затронутой в данном случае проблемой. Состоять в переписке с Мерсенном было большой честью для ученых того времени.

В 1636 году Ферма писал Мерсенну: «Святой отец! Я Вам чрезвычайно признателен за честь, которую Вы мне оказали, подав надежду на то, что мы сможем беседовать письменно…Я буду очень рад узнать от Вас о всех новых трактатах и книгах по математике, которые появились за последние пять-шесть лет…Я нашел также много аналитических методов для различных проблем, как числовых, так и геометрических, для решения которых анализ Виета недостаточен. Всем этим я поделюсь с Вами, когда Вы захотите, и притом без всякого высокомерия, от которого я более свободен и более далек, чем любой другой человек на свете».

Здесь следует сказать, что корреспонденты Мерсенна не слишком благосклонно встретили нового участника переписки. Многие идеи Ферма показались его коллегам спорными, а многочисленные задачи, которые он излагал в своих письмах, часто казались им неразрешимыми. Иногда так и было на самом деле: решения самого Ферма оказывались ошибочными. Особо конфронтационной была переписка Ферма с Рене Декартом. «Выскочка из Тулузы» осмеливался оспаривать некоторые суждения «великого координатора». Свой ответ на одно из писем Ферма Декарт даже назвал «Малый процесс Математики против господина Ферма», возможно, намекая на основной род занятий оппонента.

Как и большинство ученых-современников, Ферма интересовался самым широким кругом математических проблем. Его не без основания считают одним из основоположников теории чисел. Ферма создал универсальный метод нахождения делителей произвольного числа, открыл теорему, согласно которой произвольное число можно представить суммой не более четырех квадратов. Также ему принадлежит честь открытия двух «именных» теорем: «малой» и «большой». Эти теоремы сыграли большую роль в развитии теории чисел. «Малая» теорема гласит: для любого простого p и любого a > = 1, которое не делится на p, разность a^p–1–1 делится на p. Несколько видоизмененная «малая теорема» Ферма стала самым простым и эффективным способом нахождения простых чисел. Интересно, что изложив эту теорему в одном из писем, Ферма сделал приписку: «Я бы Вам прислал доказательство, если бы не опасался быть слишком длинным». Доказательств этой теоремы Ферма не оставил, возможно, потому, что не имел их. «Малая теорема» Ферма была доказана Лейбницем.

Об истории «большой теоремы» Ферма следует рассказать поподробнее. Как мы уже писали в начале статьи, сам Ферма на полях «Арифметики» Диофанта изложил теорему и сообщил, что нашел ее доказательство. Но записи самого доказательства Ферма не оставил. По мнению современных ученых, Ферма и не доказал свою знаменитую теорему, а либо создал ошибочное доказательство, либо сознательно ввел в заблуждение своих коллег. В пользу такой точки зрения, например, свидетельствует тот факт, что позднее сам Ферма вывел доказательства своей теоремы только для частных случаев: X⁴ + Y⁴ = Z⁴ и X³ + Y³ = Z³. На протяжении трех с лишним веков математики всего мира пытались найти доказательство теоремы Ферма в общем виде с такой же настойчивостью, с какой алхимики искали философский камень. Также появлялись предположения, что теорема неверна, но это тоже необходимо было доказать.

В XVIII в. Леонард Эйлер повторил утерянные доказательства Ферма для степеней 4 и 3, но с доказательством для степени 5 не справился. Однако в ходе работы над этой проблемой Эйлер ввел так называемые комплексные числа[26]. С доказательством теоремы для n = 5 справился француз Лежандр (1752–1833), для 7-й степени – немец Дирихле (1805–1859). Работали над теоремой Ферма и такие ученые, как Гаусс, Галуа, Куммер (1810–1893). Все эти ученые внесли колоссальный вклад в развитие теории чисел, поскольку попытки доказать «упрямую» теорему привели к громадному числу математических открытий и появлению большого количества новых теорий и направлений математики.

Несмотря на трехвековую осаду, в результате которой под натиском математиков падали все новые и новые частные случаи, цитадель, т. е. доказательство теоремы в общем виде, оставалась непокоренной практически до конца XX века. В 1908 году немец Вольфскель завещал премию в сто тысяч марок тому, кто докажет теорему. Это вызвало новый массовый штурм, ни к чему, однако, не приведший. Например, Геттингенское математическое общество только за три года получило более тысячи неверных доказательств. Его сотрудники даже заготовили бланк «Ваше доказательство содержит ошибку на стр. _____, которая заключается в том, что ______». В научном мире появилось полупрезрительное слово «ферматист», которым называли математиков, пытавшихся найти доказательство теоремы. При этом справедливость самой теоремы не вызывала сомнений. Позже с помощью компьютеров она была подтверждена для степеней меньше 5500.

Однако, как мы уже упоминали, только в 1995 году теорема стала теоремой, а не многократно подтвержденной гипотезой. Покоривший ее Эндрю Уайлз сначала доказал революционную гипотезу, которую в 1955 году выдвинул талантливый японский математик Ютака Танияма. Но это никак не могло быть тем доказательством, которое якобы нашел Ферма. Поэтому простор для работы «ферматистов» остается и сейчас.

Среди заслуг Пьера Ферма стоит отметить не только создание теории чисел. Работа «Метод отыскания наибольших и наименьших значений», написанная еще в 1629 году, положила начало дифференциальному и интегральному исчислению. Вместе с Рене Декартом, отношения с которым после двух лет довольно резкой переписки наладились, его считают одним из основоположников аналитической геометрии. Здесь следует сказать, что Ферма, по-видимому, раньше Декарта пришел к идее системы координат, впоследствии названной декартовой. Труд Ферма «Введение к теории плоских и пространственных мест» стал известен в 1836 году. В нем ученый показал, что прямые описываются уравнениями 1-й степени, а конические сечения – 2-й. Также к числу математических работ Ферма относятся и исследования в области теории вероятности.

Пьер Ферма оставил заметный след и в физике. Одна из последних работ ученого «Синтез для рефракции» (1662) излагает так называемый «принцип Ферма», который является основным принципом геометрической оптики. Он гласит, что свет распространяется между двумя точками по тому пути, прохождение которого требует минимального времени.

Кроме математики и физики, Пьер Ферма выступал и в еще одной научной ипостаси. Как мы уже отмечали, он прекрасно разбирался в античной литературе. Говорили, что не займись Ферма математикой, он мог бы стать прекрасным филологом-специалистом по греческой литературе и этим обессмертил бы свое имя. О глубине его познаний в этой области говорит то, что издатели и переводчики, работая над произведениями греческих писателей, часто обращались к Ферма за комментариями по поводу трудных для понимания мест.

12 января 1665 года во время одной из своих деловых поездок Пьер Ферма умер. «Это был один из наиболее замечательных умов нашего века, – говорилось в его некрологе, – такой универсальный гений и такой разносторонний, что если бы все ученые не воздали должное его необыкновенным заслугам, то трудно было бы поверить всем вещам, которые нужно о нем сказать, чтобы ничего не упустить в нашем похвальном слове».

Данный текст является ознакомительным фрагментом.